Question

5．将函数y=log_a$\frac{a（x+1）+2}{x}$（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位得到函数y=f（x）的图象．
（1）若x∈（3，+∞），求函数y=f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在区间（-3，-1）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数平移得出f（x）=log_a$\frac{ax+2}{x-1}$（a＞0，a≠1）利用复合函数的单调性，分类判断求解．
（2）根据对数函数的单调性，定义域判断得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{u（-1）≥0}\end{array}\right.$求解．

解答 解：（1）∵函数y=log_a$\frac{a（x+1）+2}{x}$（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位得到函数y=f（x）的图象．
∴f（x）=log_a$\frac{ax+2}{x-1}$（a＞0，a≠1）
∵u（x）=a+$\frac{a+2}{x-1}$（3，+∞）为减函数，
∴a＜u（x）＜$\frac{3a}{2}$+1，
当a＞1时，1＜f（x）＜log_a（$\frac{3a}{2}$+1）
当0＜a＜1时，log_a（$\frac{3a}{2}$+1）＜f（x）＜1
∴函数y=f（x）的值域
当a＞1时，{y|1＜y＜log_a（$\frac{3a}{2}$+1）}
当0＜a＜1时，{y|log_a（$\frac{3a}{2}$+1）＜f（x）＜1}
（2）∵u（x）=a+$\frac{a+2}{x-1}$，a＞0，a≠1在（-3，-1）为减函数，u（-1）≥0
∴根据y=f（x）在区间（-3，-1）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}-1≥0}\end{array}\right.$，即a≥2．

点评 本题综合考察了对数函数的性质，复合函数的单调性的求解，属于综合题目，关键是确定函数结构．