Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f（x）=

x

x2+1

（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）判断并证明函数在区间[-1，0]上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）0，-1带入解析式即可求得f（0），f（-1）；
（2）设x∈（0，1]，-x∈[-1，0），根据f（x）是偶函数便可求出f（x），然后分两段写出函数f（x）解析式即可；
（3）求f′（x），根据导数符号即可得出f（x）在[-1，0]上的单调性．

解答： 解：（1）f（0）=0，f（-1）=-

1

2

；
（2）设x∈（0，1]，-x∈[-1，0）；
∵f（x）在[-1，1]上为偶函数；
∴f(-x)=

-x

x2+1

=f(x)；
∴f(x)=

x x2+1 x∈[-1，0] - x x2+1 x∈(0，1]

；
（3）x∈[-1，0]时，f（x）=

x

x2+1

，f′（x）=

1-x2

(x2+1)2

；
∵x∈[-1，0]；
∴1-x²≥0；
∴f′（x）≥0；
∴f（x）在[-1，0]上为增函数．

点评：考查已知函数解析式求函数值，根据奇偶性求函数解析式的方法与过程，分段函数的概念及表示，根据导数符号判断函数单调性的方法．