Question

过椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左焦点作倾斜角为

π

3

的弦AB，求弦AB的长．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，由直线方程的点斜式得到直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，然后由弦长公式得答案．

解答： 解：由

x2

4

+

y2

2

=1，得a²=4，b²=2，
∴c²=a²-b²=2，则c=

2

．
∴椭圆的左焦点为F1(-

2

，0)，
又直线AB的倾斜角为

π

3

，
∴斜率为tan

π

3

=

3

．
∴直线AB的方程为y=

3

(x+

2

)．
代入椭圆

x2

4

+

y2

2

=1得：7x2+12

2

x+8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

12 2

7

，x1x2=

8

7

．
∴|AB|=

1+( 3 )2

•|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(- 12 2 7 )2-4× 8 7

=

16

7

．

点评：本题考查了椭圆的几何性质，考查了弦长公式的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．