题目内容
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的根，若x1是虚数，
是实数，则s=1+
+（
）2+…+（
）2012= ．
| ||
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
考点：复数代数形式的混合运算
专题：数系的扩充和复数
分析：根据实系数二次方程的虚根成对出现，设x1=x+yi（x、y∈R且y≠0）、x2=x-yi，根据分母实数化简
，令实部为零求出x与y的关系，把它代入根据分母实数化简后
的式子，同理依次求出(
)2、(
)2等，求出它们的周期，再求出s的值．
| ||
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
解答：
解：由题意设x1=x+yi（x、y∈R且y≠0），
因为x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则x2=x-yi（x、y∈R），
所以
=
=
∈R，
所以y（x2-y2）+2yx2=0，
因为y≠0，所以x2-y2+2x2=0，即y2=3x2，则y=±
x，
不妨设y=
x，
所以
=
=
=
=
，
则(
)2=
=
，(
)3=
×
=
=1，(
)4=
，…，
所以1、
、（
）2、(
)3、…按周期为3循环，
则s=1+
+（
）2+…+（
）2012=（1+
+
）×671=0，
故答案为：0．
因为x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则x2=x-yi（x、y∈R），
所以
| ||
| x2 |
| (x+yi)2 |
| x-yi |
| (x2-y2+2xyi)(x+yi) |
| x2+y2 |
所以y（x2-y2）+2yx2=0，
因为y≠0，所以x2-y2+2x2=0，即y2=3x2，则y=±
| 3 |
不妨设y=
| 3 |
所以
| x1 |
| x2 |
| x+yi |
| x-yi |
| (x+yi)2 |
| x2+y2 |
| x2-y2+2xyi |
| x2+y2 |
-1+
| ||
| 2 |
则(
| x1 |
| x2 |
-2-2
| ||
| 4 |
-1-
| ||
| 2 |
| x1 |
| x2 |
-1-
| ||
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
| 1+3 |
| 4 |
| x1 |
| x2 |
-1+
| ||
| 2 |
所以1、
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
则s=1+
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
故答案为：0．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，实数的条件，以及利用周期性求和，考查化简计算能力．
练习册系列答案
名校名师培优作业本加核心试卷系列答案
全程金卷系列答案
相关题目