Question

若?x＞-1，不等式

x2

x+1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：由原不等式得a≤

x2

x+1

，根据题意a小于等于函数

x2

x+1

的最小值即可．所以可设f（x）=

x2

x+1

，用导数的方法求该函数在（-1，+∞）的最小值：取f′（x），令f′（x）=0，便得到x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，从而得到f（x）的最小值f（0）=0，所以a≤0．

解答： 解：设f（x）=

x2

x+1

，f′（x）=

x2+2x

(x+1)2

；
令x²+2x=0，x=-2，或0；
∴x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x=0时，f（x）取极小值，也是最小值0；
∴a≤0；
∴a的取值范围是（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．

点评：考查用导数的方法求函数最小值的过程，以及极值的概念，要对函数正确求导．