Question

已知直角坐标系xOy中，点F在x轴正半轴上，点G在第一象限，设|

OF

|=c（c≥2），△OFG的面积为S=

3

4

c，且

OF

•

FG

=1．
（1）以O为中心，F为焦点的椭圆E经过点G，求点G的纵坐标；
（2）在（1）的条件下，当|

OG

|取最小值时，求椭圆E的标准方程；
（3）在（2）的条件下，设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点C是椭圆的下顶点，点P在椭圆E上（与点A、B均不重合），点D在直线PA上，若直线PB的方程为y=kx-3

10

，且

AP

•

CD

=0，试求CD直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：在圆锥曲线综合题目中遇到向量的条件时，有几何意义的可利用其几何意义进行转化，无明显几何特征的可转化为坐标关系进行解答．

解答： 解：（1）设G（x₀，y₀），∵S=

1

2

•|

OF

|•|y₀|，
∴

3

4

c=

1

2

c•|y0|，得|y0|=

3

2

，
∵y₀＞0，∴y0=

3

2

．
（2）∵

OF

=（c，0），

FG

=（x₀-c，y₀），
则

OF

•

FG

=c•（x₀-c）=1，
∴x0=c+

1

c

，
∴|

OG

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

（c≥2），
解得f(c)=c+

1

c

在[2，+∞]上递增，
∴当c=2时，f（c）有最小值2+

1

2

=

5

2

，
此时x0=

5

2

，y0=

3

2

，∴G(

5

2

，

3

2

)
由点G在椭圆E上，且c=2，得a²=10，b²=6，
则椭圆E方程为：

x2

10

+

y2

6

=1．
（3）由（2）知：A(-

10

，0)，B(

10

，0)，C(0，-

6

)，
∵直线BP：y=kx-3

10

经过点B，
∴求得k=3，设P（x₁，y₁）则

y

2 1

=

6

10

(10-

x

2 1

)，
∴kAP•kBP=

y1

x1- 10

×

y1

x1+ 10

=

y 2 1

x 2 1 -10

=

6 10 (10- x 2 1 )

x 2 1 -10

=-

6

10

=-

3

5

，
∴kAP=-

3

5

×

1

kPB

=-

3

5

•

1

K

=-

3

5

•

1

3

=-

1

5

，
又

AP

•

CD

=0，∴k_AP•k_CD=-1，∴-

1

5

•kCD=-1，∴k_CD=5，
又CD直线过点C（0，-

6

），故所求CD方程为：y=5x-

6

．

点评：本题考查点G的纵坐标的求法，考查椭圆E的标准方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．