Question

试求函数f（x）=-x²+2tx+3 （t∈R）在区间[-1，1]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最大值，写成一个分段函数形式；

解答： 解：∵函数f（x）=-x²+2tx+3=-（x-t）²+3+t² 的对称轴为 x=t，开口向下．
当-1＜t＜1时，f（x）在区间[-1，1]上的最小值g（t）=f（t）=-x²+2tx+3；
当 t≤-1时，f（x）在区间[-1，1]上为减函数，故g（t）=f（-1）=2-2t．
当 t≥1时，f（x）在区间[-1，1]上为增函数，故g（t）=f（1）=2+2t．
综上可得，f（x）在区间[-1，1]上的最大值：g(t)=

t2+3，t∈(-1，1) 2-2t，t∈(-∞，-1] 2+2t，t∈[1，+∞)

；

点评：本题考查二次函数的性质，针对于函数的对称轴是一个变化的值，需要对对称轴所在的区间进行讨论，是一个易错题，属于中档题．