Question

11．点P在曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}$=1上，点Q在曲线x²+（y-3）²=4上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM长的最小值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 设设Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），P₁（-x₂，-y₂），则|OM|=$\frac{1}{2}$|P₁Q|，求出P₁到圆心N（0，3）的最小距离，即可得出|P₁Q|的最小距离，从而得出|OM|的最小值．

解答 解：设Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∴|OM|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$，
设P₁（-x₂，-y₂），则P₁在双曲线上，∴x₁²=2y₂²+11，
∴|P₁Q|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|P₁Q|．
设曲线x²+（y-3）²=4的圆心为N（0，3），
则|P₁Q|_min=|P₁N|_min-2，
∵|P₁N|=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（3+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{3{{y}_{2}}^{2}+6{y}_{2}+11}$=$\sqrt{3（{y}_{2}+1）^{2}+8}$，
∴当y₂=-1时，|P₁N|_min=2$\sqrt{2}$，
∴|P₁Q|_min=2$\sqrt{2}$-2，
∴|OM|_min=$\sqrt{2}-1$．
故答案为：$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查了双曲线的性质，距离公式的应用，属于中档题．