Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1+alnx}{x}$（a＞0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，且函数y=f（x）图象上一点的切线l过原点，求l的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，设出切点坐标，表示出切线方程，根据方程过（0，0）点，求出切点坐标，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a-1-alnx}{{x}^{2}}$，
而函数f（x）在x=1处取得极值，
故f′（1）=a-1=0，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
设切点是（m，$\frac{1+lnm}{m}$），则f′（m）=$\frac{-lnm}{{m}^{2}}$，
故切线方程是：y-$\frac{1+lnm}{m}$=-$\frac{lnm}{{m}^{2}}$（x-m），
将（0，0）代入方程得：-$\frac{1+lnm}{m}$=-$\frac{lnm}{{m}^{2}}$•（-m），
解得：m=${e}^{-\frac{1}{2}}$，f′（m）=$\frac{1}{2e}$，
故切点是（$\frac{\sqrt{e}}{e}$，$\frac{\sqrt{e}}{2e}$），
切线方程是：y-$\frac{\sqrt{e}}{2e}$=$\frac{1}{2e}$（x-${e}^{-\frac{1}{2}}$），
即ex-2e²y+（e-1）$\sqrt{e}$=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a-1-alnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
①a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＜${e}^{\frac{a-1}{a}}$，令f′（x）＜0，解得：x＞${e}^{\frac{a-1}{a}}$，
故f（x）在（0，${e}^{\frac{a-1}{a}}$）递增，在（${e}^{\frac{a-1}{a}}$，+∞）递减；
②a=0时，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
故f（x）在（0，+∞）递减；
③a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞${e}^{\frac{a-1}{a}}$，令f′（x）＜0，解得：x＜${e}^{\frac{a-1}{a}}$，
故f（x）在（0，${e}^{\frac{a-1}{a}}$）递减，在（${e}^{\frac{a-1}{a}}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．