Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与F₁A的延长线，F₁F₂的延长线以及线段AF₂都相切，M（2，0）为一个切点．
（1）求椭圆方程；
（2）设$N（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，过F₂且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P，Q两点，若以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知及椭圆的定义：|F₁E|+|MF₂|=2a，|MF₁|+|MF₂|=2a，即可求得a的值，利用椭圆的离心率公式即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程；
（2）设l方程为，代入椭圆方程，由题意可知（$\overrightarrow{NP}$+$\overrightarrow{NQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，利用韦达定理即可求得$\overrightarrow{NP}$+$\overrightarrow{NQ}$，$\overrightarrow{PQ}$的方向向量为（1，k），根据向量数量积的坐标运算，即可求得k，求得直线l的方程．

解答 解：（1）设圆C与F₁A的延长线切于点E，与线段AF₂切于点D，
则|AD|=|AE|，|F₂D|=|F₂M|，|F₁E|=|F₁M|，
∵|AF₁|+|AF₂|=2a，∴|AF₁|+|AD|+|DF₂|=2a，
∴|F₁E|+|MF₂|=2a，|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴（2-c）+（2+c）=2a，故a=2，由$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可知$c=\sqrt{3}，b=1$，
椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由（1）可知F₂（$\sqrt{3}$，0），设l方程为$y=k（{x-\sqrt{3}}），k≠0$，
代入椭圆方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
整理得：$（{1+4{k^2}}）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}-2\sqrt{3}}）=\frac{{-2\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}$，
以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴（$\overrightarrow{NP}$+$\overrightarrow{NQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，$\overrightarrow{NP}$+$\overrightarrow{NQ}$=（x₁-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y₁）+（x₂-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y₂）
=$（{{x_1}+{x_2}-\sqrt{3}，{y_1}+{y_2}}）=（{\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{1+4{k^2}}}-\sqrt{3}，\frac{{-2\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}}）$，
$\overrightarrow{PQ}$的方向向量为（1，k），
∴$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴直线l的方程$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x-\sqrt{3}}）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．