Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性
（3）若已知f（1）=2，试判断函数f（x）的单调性，并求满足f（2-a）=6的实数a的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，从而可判断其奇偶性；
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判断其符号即可证得f（x）为R上的增函数，根据抽象函数的关系求出f（3）=6，然后将方程进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）取x=y=0得，则f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
（2）函数f（x）为奇函数，
证明：已知函数的定义域为R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；                        
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）为R上的增函数．
若f（1）=2，则f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=4+2=6，
则方程f（2-a）=6等价为f（2-a）=f（3），
∵函数f（x）为R上的增函数，
∴2-a=3，
解得a=-1．

点评：本题考查抽象函数及其应用，以及函数奇偶性和单调性的判断，利用赋值法以及函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．