题目内容
已知向量
=（x，
y），
=（1，0），且（
+
）•（
-
）=0．
（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用向量的数量积公式，结合（
+
）•（
-
）=0，即可求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，设弦MN的中点为P，利用|AM|=|AN|，AP⊥MN，即可求出实数m的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
（2）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，设弦MN的中点为P，利用|AM|=|AN|，AP⊥MN，即可求出实数m的取值范围．
解答：
解：（1）由题意向量
=（x，
y），
=（1，0），且（
+
）•（
-
）=0，
∴(x+
)(x-
)+
y•
y=0，
化简得
+y2=1，
∴Q点的轨迹C的方程为
+y2=1．…（4分）
（2）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…（6分）
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xP，yP），xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP=
=-
，
从而yP=kxP+m=
，kAP=
=-
，…（8分）
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则-
=-
，即2m=3k2+1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2=
＞0，解得m＞
，
故所求的m的取值范围是（
，2）．…（10分）
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，
解得-1＜m＜1．…（12分）
综上，当k≠0时，m的取值范围是（
，2），
当k=0时，m的取值范围是（-1，1）．…（13分）
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
∴(x+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
化简得
| x2 |
| 3 |
∴Q点的轨迹C的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）由
|
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…（6分）
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xP，yP），xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP=
| xM+xN |
| 2 |
| 3mk |
| 3k2+1 |
从而yP=kxP+m=
| m |
| 3k2+1 |
| yP+1 |
| xP |
| m+3k2+1 |
| 3mk |
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则-
| m+3k2+1 |
| 3mk |
| 1 |
| k |
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2=
| 2m-1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
故所求的m的取值范围是（
| 1 |
| 2 |
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，
解得-1＜m＜1．…（12分）
综上，当k≠0时，m的取值范围是（
| 1 |
| 2 |
当k=0时，m的取值范围是（-1，1）．…（13分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．
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