Question

6．在正方体ABCDD一A₁B₁C₁D₁中，点E为线段C₁D₁上一点，且满足$\frac{{D}_{1}E}{E{C}_{1}}$=$\sqrt{3}$+1，则直线AB₁与直线CE所成的角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB₁与直线CE所成的角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCDD一A₁B₁C₁D₁中棱长为$\sqrt{3}+2$，
则A（$\sqrt{3}+2$，0，0），B₁（$\sqrt{3}+2，\sqrt{3}+2，\sqrt{3}+2$），
C（0，$\sqrt{3}+2$，0），E（0，$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}+2$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}+2，\sqrt{3}+2$），$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，$\sqrt{3}+2$），
设直线AB₁与直线CE所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{14+8\sqrt{3}}•\sqrt{8+4\sqrt{3}}}$=$\frac{5+3\sqrt{3}}{10+6\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴直线AB₁与直线CE所成的角的大小为60°．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．