Question

16．已知函数f（x）=x^-2，
（1）判断该函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）判断该函数在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域，再用奇偶性的定义证明函数为偶函数；
（2）先判断函数在（-∞，0）上单调递增，再用单调性的定义用作差比较法证明；

解答 解：（1）f（x）的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞），
且为偶函数，证明如下：
因为f（x）=x^-2=$\frac{1}{x^2}$，
所以f（-x）=$\frac{1}{（-x）^2}$=$\frac{1}{x^2}$，
即f（-x）=f（x），因此f（x）为定义域上的偶函数；
（2）函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，
因为，x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
所以，$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明，函数单调性的判断和证明，用到奇偶性和单调性的定义，作差比较法，属于中档题．