Question

数列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2时，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

-

2

3

．数列{b_n}满足：b_n=3^n-1（a_n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{

an+1

n

}的前n项和为S_n，是否存在正整数m，n，使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当n≥2时，把a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

-

2

3

代入b_n-b_n-1整理后得到数列{b_n}为等差数列并求得公差，再求出首项，然后代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把{b_n}的通项公式代入{

an+1

n

}，求其前n项和为S_n，进一步代入

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

得到∵（3-m）3ⁿ-1＞0，求出正整数m，进一步得到正整数n，则答案可求．

解答： （Ⅰ）证明：当n≥2时，bn-bn-1=3n-1(an+1)-3n-2(an-1+1)，
代入an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

整理得，
bn-bn-1=3n-1(

1

3

an-1+

2

3n-1

+

1

3

)-3n-2(an-1+1)=2．
故{b_n}是公差为2的等差数列．
又b1=30(a1+1)=2，
∴b_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，bn=3n-1(an+1)=2n，故

an+1

n

=

2

3n-1

，
∴Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3(1-

1

3n

)，
则

Sn-m

Sn+1-m

=

3-m- 1 3n-1

3-m- 1 3n

=1-

1 3n-1 - 1 3n

3-m- 1 3n

=1-

2

(3-m)3n-1

．
∵

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

=1-

1

3m+1

，得

2

(3-m)3n-1

＞

1

3m+1

，
又∵（3-m）3ⁿ-1＞0，m∈N^*，
∴m=1，2．
当m=1时，

2

2•3n-1

＞

1

4

，解得n=1；
当m=2时，

2

3n-1

＞

1

10

，解得n=1，2．
综上，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2）．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等比数列的和，训练了与数列有关的存在性问题的判定方法，是压轴题．