Question

8．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；化为（x-3a）（x-a）＜0，解得x范围．q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，化为：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x＞2或x＜-5}\end{array}\right.$，根据当p∧q为真，即可得出实数x的取值范围是（2，3）．
（II）根据q是p的充分不必要条件，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：（I）由x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；化为（x-3a）（x-a）＜0，解得a＜x＜3a．a=1时，1＜x＜3．
q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，化为：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x＞2或x＜-5}\end{array}\right.$，解得2＜x≤3．
当p∧q为真，则$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴实数x的取值范围是（2，3）．
（II）∵q是p的充分不必要条件，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．