Question

20．已知直线l：4x-3y+6=0，抛物线x=$\frac{1}{4}{y^2}$上一动点P到y轴和直线l的距离之和的最小值是1．

Answer 1

分析 作图，化点P到直线l：2x-y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA-1，从而求最小值．

解答 解：由题意抛物线x=$\frac{1}{4}{y^2}$，可知y²=4x，准线方程x=-1，
作图如右图，点P到直线l：4x-3y+6=0为PA；
点P到y轴的距离为PB-1；
而由抛物线的定义知，
PB=PF；
故点P到直线l：4x-3y+6=0和y轴的距离之和为PF+PA-1；
而点F（1，0）到直线l：4x-3y+6=0的距离为：
$\frac{|4+6|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2；
故点P到直线l：4x-3y+6=0和y轴的距离之和的最小值为2-1=1；
故答案为：1．

点评 本题考查了学生的作图能力及圆锥曲线的定义应用，属于中档题．