Question

19．已知函数f（x）=2x³-3x²-12x+5．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[0，3]的最值．

Answer 1

分析 （I）利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．
（II）先求导函数，确定函数在闭区间[-2，3]上的极值点及端点的值，进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）将x=1代入函数解析式得y=-8，------------------------（2分）
函数f（x）=2x³-3x²-12x+5．
y'=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1），所以y'|_x=1=-12----------------------------------（4分）
由直线方程的点斜式得y+8=-12（x-1）
所以函数在x=1处的切线方程为12x+y-4=0----------------------------------（6分）
（Ⅱ）y'=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1）=0，
解得x=2或x=-1------------------------（8分）
x∈[0，3]
由于f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4，-------------------------------（10分）
∴y_max=5，y_min=-15------------------------------（12分）

点评 本题以函数为载体，考查函数导数的几何意义、利用导数求闭区间上函数的最值，解题的关键是利用导数工具．属于导数的基础题．