Question

17．已知f（a）=（$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$）cos³α+2sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）（α为第三象限角）．
（Ⅰ）若tanα=3，求f（α）的值；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{14}{5}$cosα，求tanα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系以及三角函数的诱导公式化简f（a），再进一步化弦为切，即可求出f（α）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（α）=-2cos²α-2cosαsinα=$\frac{14}{5}$cosα，求出sinα+cosα和2sinαcosα的值，再进一步求出|sinα-cosα|的值，则tanα的值可求．

解答 解：（Ⅰ）f（a）=（$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$）cos³α+2sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{3π}{2}$-α）
=（$\frac{1-sinα}{-cosα}+\frac{1+sinα}{-cosα}$）cos³α+2cosα（-sinα）=-2cos²α-2cosαsinα
=$\frac{-2co{s}^{2}α-2cosαsinα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=\frac{-2-2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$，
又tanα=3，
故f（α）=$\frac{-2-2×3}{1+{3}^{2}}=-\frac{4}{5}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（α）=-2cos²α-2cosαsinα=$\frac{14}{5}$cosα，
∴$sinα+cosα=-\frac{7}{5}$，①
由①得：$2sinαcosα=\frac{24}{25}$．
∴$|sinα-cosα|=\frac{1}{5}$，②
故$sinα=-\frac{3}{5}$，$cosα=-\frac{4}{5}$，$tanα=\frac{3}{4}$或$sinα=-\frac{4}{5}$，$cosα=-\frac{3}{5}$，$tanα=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的诱导公式，是中档题．