Question

5．已知椭圆的中心在原点，焦点为F₁（0，-2$\sqrt{2}$），F₂（0，2$\sqrt{2}$），且离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程，由c，及离心率即可求得a值，则b²=a²-c²=1，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式可知$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即可求得直线l斜率的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由已知c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得：a=3，则b²=a²-c²=1，
故所求方程为$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$；（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+t（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（k²+9）x²+2ktx+t²-9=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2kt}{{k}^{2}+9}$，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}{t}^{2}-4（{k}^{2}+9）（{t}^{2}-9）＞0}\\{-\frac{2kt}{{k}^{2}+9}=-1}\end{array}\right.$，
解得：k＞$\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$．
直线l斜率的取值范围（-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．（12分

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．