Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R，其中$（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的周期为π，且图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{12}]$时，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的周期以及函数的最值，求解A，ω，ϕ即可得到函数的解析式．
（2）通过x的范围求出函数的相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，得A=2，
由T=π得ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．
由点$M（\frac{2π}{3}，-2）$在图象上，得2sin$（\frac{4π}{3}+φ）$=-2   即sin$（\frac{4π}{3}+φ）$=-1，
∴$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=2kπ-$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
又φ∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴k=1，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin$（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）取得最小值1；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，注意正弦函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．