Question

在△ABC中，边a，b，c所对的A，B，C组成一个公差为α的等差数列，a=2，b=

7

．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求cosα的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质求出B的度数，利用余弦定理求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cos（B-α），把三边长代入并利用求出cos（60°-α）的值，确定出sin（60°-α）的值，把cosα表示为cos[60°-（60°-α）]，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，边a，b，c所对的A，B，C组成一个公差为α的等差数列，
∴三个角为B-α，B，B+α，即B-α+B+B+α=3B=180°，
解得：B=60°，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即7=4+c²-2c，
解得：c=3或c=-1（舍去），
则△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

3 3

2

；
（Ⅱ）∵a=2，b=

7

，c=3，
∴cos（B-α）=cos（60°-α）=

9+7-4

6 7

=

2 7

7

，sin（60°-α）=

21

7

，
则cosα=cos[60°-（60°-α）]=

1

2

cos（60°-α）+

3

2

sin（60°-α）=

7

7

+

3 7

14

=

5 7

14

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．