Question

20．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t为参数，0≤α＜π）$，射线$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C．
（1）求$\frac{|OB|+|OC|}{|OA|}$的值；
（2）当$ϕ=\frac{π}{12}$时，B，C两点在曲线C₂上，求m与α的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|，即可求出$\frac{|OB|+|OC|}{|OA|}$．
（2）当$ϕ=\frac{π}{12}$时，B，C两点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．再把它们化为直角坐标，根据C₂是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=-$\sqrt{3}$（x-2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．

解答 解：（1）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），…（2分）
则|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（cosφ-sinφ）+2$\sqrt{2}$（cosφ+sinφ）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|，
∴$\frac{|OB|+|OC|}{|OA|}$=$\sqrt{2}$．…（5分）
（2）当$ϕ=\frac{π}{12}$时，B，C两点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．
化为直角坐标为B（1，$\sqrt{3}$），C（3，-$\sqrt{3}$）．…（7分）
C₂是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，
又经过点B，C的直线方程为y=-$\sqrt{3}$（x-2），故直线的斜率为-$\sqrt{3}$，…（9分）
所以m=2，α=$\frac{2π}{3}$．…（10分）

点评 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．