Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=

3

，AD=AA₁=3，E₁为A₁B₁中点．
（Ⅰ）证明：B₁D∥平面AD₁E₁；
（Ⅱ）证明：平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结A₁D交AD₁于G，证明B₁D∥E₁G，利用直线与平面平行的判定定理证明B₁D∥平面AD₁E₁． 
（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出CH=

1

2

，BH=

3

2

，证明AC⊥BD，然后证明BB₁⊥AC，得到AC⊥平面BDD₁B₁，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．

解答： 证明：（Ⅰ）连结A₁D交AD₁于G，
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为四棱柱，
所以四边形ADD₁A₁为平行四边形，
所以G为A₁D的中点，
又E₁为A₁B₁中点，所以E₁G为△A₁B₁D的中位线，
所以B₁D∥E₁G，
又因为B₁D?平面AD₁E₁，E₁G?平面AD₁E₁，
所以B₁D∥平面AD₁E₁． 

（Ⅱ）设AC∩BD=H，
因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA
又BC=1，AD=3，所以

AH

CH

=

DH

BH

=

AD

BC

=3，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°
∴AC=

1+3

=2，BD=

9+3

=2

3

从而CH=

1

2

，BH=

3

2

，
所以CH²+BH²=BC²，CH⊥BH，即AC⊥BD
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为四棱柱，AA₁⊥底面ABCD
所以侧棱BB₁⊥底面ABCD，又AC?底面ABCD，所以BB₁⊥AC
因为BB₁∩BD=B，所以AC⊥平面BDD₁B₁，
因为AC?平面ACD₁，所以平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．

点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．