Question

已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且2f′（x）-πcos

π

2

x=0，若有四个不同的正数x_i满足f（x_i）=M（M为常数），且x_i＜8，（i=1，2，3，4），则x₁+x₂+x₃+x₄的值为（　　）

• A、10
• B、14
• C、12
• D、12或20

Answer 1

考点：导数的运算

专题：计算题,作图题,导数的概念及应用

分析：由题意可知，f′（x）=

1

2

πcos

π

2

x，从而得f（x）=sin

π

2

x+c（c为常数），进而作出图象辅助求解．

解答： 解：∵2f′（x）-πcos

π

2

x=0，
∴f′（x）=

1

2

πcos

π

2

x，
∴函数f（x）=sin

π

2

x+c（c为常数），
如y=sin

π

2

x图象右图，
则不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则x₁+x₂=2×1，x₃+x₄=2×5，
或x₁+x₂=2×3，x₃+x₄=2×7，
则x₁+x₂+x₃+x₄=12或20，
故选D．

点评：本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想，同时考查了导数的运算，属于基础题．