Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1（n≥2）
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）把已知的数列递推式变形得到数列{a_n}是以2为首项，以

1

2

为公比的等比数列，然后直接由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列a_n的通项公式代入b_n=（2n-1）a_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，（n≥2），
∴2an=an-1，

an

an-1

=

1

2

，
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
∴an=2×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2=22-n；
（Ⅱ）bn=(2n-1)22-n，
Tn=1×21+3×20+5×2-1…+(2n-1)•22-n．

1

2

Tn=1×20+3×2-1+…+(2n-3)•22-n+(2n-1)•21-n．
∴

1

2

Tn=2+2(20+2-1+…+22-n)-(2n-1)•21-n
=2+

2[1-(2-1)n-1]

1-2-1

-(2n-1)21-n=6-（2n+3）×2^1-n．
∴Tn=12-(2n+3)×22-n．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．