Question

设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．
①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．
如果函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：若函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即

a= 2a+1 +k b= 2b+1 +k

，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

1

2

，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：若函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即

a= 2a+1 +k b= 2b+1 +k

，
∴a，b是方程x=

2x+1

+k的两个实数根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

1

2

，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k≤-

1

2

时，

△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0 f(- 1 2 )= 1 4 + 1 2 (2k+2)+k2-1≥0 2k+2 2 ＞- 1 2

解得，-1＜k≤-

1

2

；
当k＞-

1

2

时，

△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0 f(k)=k2-(2k+2)•k+k2-1＞0 2k+2 2 ＞k

解得k无解．
综上，可得-1＜k≤-

1

2

．
故答案为：（-1，-

1

2

]

点评：本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．