Question

3．给出下列四个命题：
（1）方程x²+y²-2x-1=0表示的是圆；
（2）动点到两个定点的距离之和为一定长，则动点的轨迹为椭圆；
（3）抛物线x=2y²的焦点坐标是$（{\frac{1}{8}，0}）$；
（4）若双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的离心率为e，且1＜a＜2，则k的取值范围是k∈（-12，0）
其中正确命题的序号是（1）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1），（2），（3）可直接根据圆锥曲线的定义进行判断；
（4）可利用离心率的定义得出1＜$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$＜2，求出k的范围．

解答 解：（1）方程x²+y²-2x-1=0可整理为（x-1）²+y²=2表示的是圆，故正确；
（2）动点到两个定点的距离之和为一定长，且大于两顶点间的距离时，则动点的轨迹为椭圆，故错误；
（3）抛物线x=2y²整理得y²=$\frac{1}{2}$x，得焦准距p=$\frac{1}{4}$，得焦点坐标是$（{\frac{1}{8}，0}）$，故正确；
（4）若双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的离心率为e，且1＜e＜2，
∴1＜$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$＜2，
∴-12＜k＜0．故正确．
故答案为（1）（3）（4）．

点评 考查了圆锥曲线的定义，焦点坐标，离心率的求解．属于基础题型，应熟练掌握．