Question

3．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^x}-a，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1]．

Answer 1

分析 由f（x）=ln（x-1）=0，得x=2．由题意得，当x≤1时，函数f（x）=3^x-a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．

解答 解：当x＞1时，由f（x）=ln（x-1）=0，得x=2．
∵函数f（x）有两个不同的零点，
∴当x≤1时，函数f（x）=3^x-a还有一个零点，
令f（x）=0得a=3^x，
∵0＜3^x≤3⁰=1，∴0＜a≤1，
∴实数a的取值范围是0＜a≤1．
故答案为：（0，1]．

点评 本题考查指数函数的单调性和运用，考查对数的性质及应用，函数的零点问题，属于中档题．