题目内容
14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\\{x-2，x≥0}\end{array}\right.$，若f[f（-2）]=a，实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-a≥0}\\{x+y≤6}\\{2x-y≤6}\end{array}\right.$，则目标函数z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$的最大值为8．分析 根据分段函数的表达式，求出a的值，作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质结合直线斜率的公式进行求解即可．
解答 解：f（-2）=$（\frac{1}{2}）^{-2}$=4，
则a=f[f（-2）]=f（4）=4-2=2，
则约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{x+y≤6}\\{2x-y≤6}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$=$\frac{3（x+2）+4y+4}{x+2}$=3+4•$\frac{y+1}{x+2}$，
设k=$\frac{y+1}{x+2}$，
则k的几何意义是区域内的点到定点D（-2，-1）的斜率，
则z=3+4k，
由图象知AD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此时k=$\frac{4+1}{2+2}$=$\frac{5}{4}$，
则z=3+4×$\frac{5}{4}$=3+4=8，
即目标函数z=$\frac{3x+4y+10}{x+2}$的最大值为8，
故答案为：8
点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出a的值，利用分式的应用转化为直线斜率问题是解决本题的关键．
练习册系列答案
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9．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\ log_2^x\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≤0\\ x＞0\end{array}$，若$f（a）=\frac{1}{2}$，则a=（ ）
| A． | -1 | B． | -1或$\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | -1或$-\sqrt{2}$ |
6．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成角等于$\frac{π}{3}$，则平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是（ ）
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如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC的中点，E为AD的中点，PA=AC=2，BC=1．