Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|+2，x＜1\\ x+\frac{2}{x}，x≥1.\end{array}$，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． $[-2\sqrt{3}，2]$
• C． $[-2，2\sqrt{3}]$
• D． $[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|$\frac{x}{2}$+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|+2，x＜1\\ x+\frac{2}{x}，x≥1.\end{array}$的图象如图：
令g（x）=|$\frac{x}{2}$+a|，其图象与x轴相交与点（-2a，0），
在区间（-∞，-2a）上为减函数，在（-2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得-2≤a≤2，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．