Question

17．已知点M是圆C：（x-1）²+（y-4）²=1上的点，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+4≥0}\\{x+4y≤0}\\{x+（a-1）y+2（a-1）≤0}\\{\;}\end{array}\right.$（a≠1）表示的平面区域为Ω，点P是Ω上一点，若|PM|的最小值为$\sqrt{17}$-1，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-3，1）
• C． （1，+∞）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用得到直线的距离公式可得，圆心C（1，4）到直线x+4y=0的距离为$\sqrt{17}$，由此可知，当P点为过C垂直于直线x+4y=0的线段的垂足时，满足|PM|的最小值为$\sqrt{17}$-1，然后结合原点在二元一次不等式x+（a-1）y+2（a-1）≤0所表示的平面区域内部得答案．

解答 解：如图，
∵圆C：（x-1）²+（y-4）²=1的圆心C（1，4）到直线x+4y=0的距离为$\sqrt{17}$，
∴当P点为过C垂直于直线x+4y=0的线段的垂足时，满足|PM|的最小值为$\sqrt{17}$-1，
CP所在直线方程为y=4x，则P点与O重合，
要使可行域包含O（0，0），则0+（a-1）×0+2（a-1）≤0，
即a≤1，又a≠1，
∴实数a的取值范围为（-∞，1）．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，理解题意是解答该题的关键，是中档题．