Question

设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列．给出以下四个结论：
①b²≥ac；②

1

a

+

1

c

≥

2

b

； ③b2≤

a2+c2

2

； ④B∈(0，

π

3

]
其中正确结论的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：①由于△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，b，c成等差数列．可得a+c=2b．a，b，c＞0．
利用基本不等式的性质即可判断出；
②左边=

a+c

ac

=

2b

ac

，利用①的结论与不等式的性质即可得出；
③利用基本不等式的性质可得b²=(

a+c

2

)2≤

a2+c2

2

④利用余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

，再利用基本不等式的性质、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：①∵△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，b，c成等差数列．
∴a+c=2b．a，b，c＞0．
∴2b≥2

ac

，化为b²≥ac．
②左边=

a+c

ac

=

2b

ac

≥

2b

b2

=

2

b

=右边，正确；
③b²=(

a+c

2

)2≤

a2+c2

2

，正确；
④cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴0＜B≤

π

3

．
综上可得：①②③④正确．
故选：A．

点评：本题考查了等差数列的性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．