Question

（1）计算：C

0 2

+C

1 2

+C

2 2

=4
（2）计算：C

0 3

+C

1 3

+C

2 3

+C

3 3

=8
（3）猜想：C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+C

3 n

+…+C

n n

的值，并证明你的结论．
（4）你能否利用第（3）题的结论来求一个集合的子集的个数？为什么？

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）（2）直接计算可得结论；
（3）C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+C

3 n

+…+C

n n

=2ⁿ，利用二项式定理进行证明；
（4）n个元素的集合，子集的个数2ⁿ，根据子集的定义，可得结论．

解答： 解：（1）C

0 2

+C

1 2

+C

2 2

=2²=4；
（2）C

0 3

+C

1 3

+C

2 3

+C

3 3

=2³=8
（3）C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+C

3 n

+…+C

n n

=2ⁿ，
证明如下：∵（a+b）ⁿ=C

0 n

aⁿ+C

1 n

a^n-1b+C

2 n

a^n-2b²+C

3 n

a^n-3b³+…+C

n n

bⁿ，
∴令a=b=1，可得C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+C

3 n

+…+C

n n

=2ⁿ；
（4）n个元素的集合，子集的个数2ⁿ，根据子集的定义，子集中的元素是集合中元素分别取0，1，2，…，n个得到．

点评：本题考查进行简单的合情推理，考查二项式定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．