Question

已知函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

（1）若x∈[0，

π

2

]，且f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c+

3

a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据f（x）的值求出sin（x-

π

6

），由x的范围确定出x-

π

6

的范围，进而求出cos（x-

π

6

）的值，cosx变形为cos[（x-

π

6

）+

π

6

]，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinA不为0求出cosB的范围，进而确定出B的范围，即可求出f（B）的范围．

解答： 解：（1）依题意得f（x）=

3

2

sinx-

1+cosx

2

+

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx=sin（x-

π

6

），
由x∈[0，

π

2

]得：-

π

6

≤x-

π

6

≤

π

3

，
∵f（x）=sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，
∴cos（x-

π

6

）=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
则cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

2

2

-

3

6

；
（2）在△ABC中，利用正弦定理化简2bcosA≤2c+

3

a，得：2sinBcosA≤2sinC+

3

sinA=2sin（A+B）+

3

sinA，
整理得：2sinBcosA≤2sinAcosB+2sinBcosA+

3

sinA，即2sinAcosB+

3

sinA≥0，
∵sinA≠0，∴2cosB+

3

≥0，即cosB≥-

3

2

，
∴0＜B≤

5π

6

，即-

π

6

＜B-

π

6

≤

2π

3

，
则f（B）=sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．