Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）与y=-sinx的图象关于直线

π

6

对称．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）单位后，图象关于y轴对称，求m的最小值；
（3）将函数y=f（x）的图象上的各点的横坐标缩短为原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数y=h（x）的图象，若关于x的方程g（x）+m=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,根的存在性及根的个数判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据对称性直接求解其解析式．
（2）平移后由函数为偶函数得到m-

π

3

=kπ+

π

2

，由此可求最小正数m的值．
（3）由图象变化法则可得g（x）=sin（2x-

π

3

），问题等价于函数g（x）的图象与y=-m只有一个公共点，数形结合可得．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）与y=-sinx的图象关于直线

π

6

对称．
∴Asin[ω（

π

3

-x）+φ]=-sinx，
∴-Asin（ωx-

πω

3

-φ）=-sinx，
∴可解得：A=1，ω=1，φ=-

π

3

，
∴y=f（x）=sin（x-

π

3

），
（2）∴将函数y=sin（x-

π

3

）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象对应的函数解析式为y=sin（x+m-

π

3

）．
∵所得到的图象关于y轴对称，
∴y=sin（x+m-

π

3

）为偶函数．
即m-

π

3

=kπ+

π

2

，m=kπ+

5π

6

．
当k=0时，m的最小值为

5π

6

．
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
∴g（x）=sin（2x-

π

3

），可得g（x）在[0，

5π

12

]单调递增，在[

5π

12

，

π

2

]单调递减，
其图象如图所示，

关于x的方程g（x）+m=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，
等价于函数g（x）的图象与y=-m只有一个公共点，
由图象可得-m=1，或-

3

2

≤-m＜

3

2

，
∴实数m的取值范围为：m=-1或-

3

2

＜m≤

3

2

．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数诱导公式等知识，属于中档题．解题的关键是灵活运用对称思想求解函数的解析式．