Question

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n∈N^*且n≥2）和5个白球，一次摸奖从中摸出两个球，两个球颜色不同则为中奖．记一次摸奖中奖的概率为p．
（Ⅰ）求p（用n表示）；
（Ⅱ）若p=

1

3

，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），其余的红球记上0号，现从袋中任取两球，用X表示所取两球的最大标号，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有

C

2 n+5

种方法，其中两个球的颜色不同的取法有

C

1 n

C

1 5

种，由此能求出一次摸奖中奖的概率．
（Ⅱ）由p=

1

3

，得n=20，从而X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有

C

2 n+5

种方法．
其中两个球的颜色不同的取法有

C

1 n

C

1 5

种，…（2分）
所以一次摸奖中奖的概率为p=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

．…（4分）
（Ⅱ）若p=

1

3

，即

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20或n=1（舍去）．
由题知：记上0号的红球有10个．
X可能取值为0，1，2，3，4．…（6分）
P(X=0)=

C 2 10

C 2 20

=

45

190

，
P(X=1)=

C 1 10 C 1 1

C 2 20

=

10

190

，
P(X=2)=

C 1 2 C 1 11 + C 2 2

C 2 20

=

23

190

，
P(X=3)=

C 1 3 C 1 13 + C 2 3

C 2 20

=

42

190

，
P(X=4)=

C 1 4 C 1 16 + C 2 4

C 2 20

=

70

190

．
从而X的分布列是：

X	0	1	2	3	4
p	45 190	10 190	23 190	42 190	70 190

EX=0×

45

190

+1×

10

190

+2×

23

190

+3×

42

190

+4×

70

190

=

462

190

=

231

95

． …（12分）

点评：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．