Question

已知函数f（x）=xe^x+ax²-x，（a∈R，e为自然对数的底数，且e=2.718…）．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对于x≥0时，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N^*时，证明：

e-en+1

1-e

≥

n(n+3)

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）a=-

1

2

时，f（x）=xe^x-

1

2

x²-x，f′（x）=（x+1）e^x-x-1，利用导数的几何意义可得切线的斜率f′（1）=2e-2，利用点斜式即可得出切线方程；
（II）f′（x）-f（x）≥（4a+1）x化为e^x-ax²-2ax-1≥0，令g（x）=e^x-ax²-2ax-1，x∈[0，+∞），g（0）=0．对于x≥0时，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立?g（x）_min≥0，对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（III）由（II）可知：当a=

1

2

时，e^x-ax²-2ax-1≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，可得e^x-1≥

1

2

x2+x，可得e^x≥x+1，令n=1，2，…，则e≥1+1，e²≥2+1，…，eⁿ≥n+1，“累加求和”即可得出．

解答： （I）解：a=-

1

2

时，f（x）=xe^x-

1

2

x²-x，∴f′（x）=（x+1）e^x-x-1，
∴f′（1）=2e-2，
又f（1）=e-

3

2

，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-(e-

3

2

)=（2e-2）（x-1），化为（2e-2）x-y+

1

2

-e=0．
（II）解：f′（x）-f（x）≥（4a+1）x化为e^x-ax²-2ax-1≥0，
令g（x）=e^x-ax²-2ax-1，x∈[0，+∞），g（0）=0．
则g′（x）=e^x-2ax-2a，当a≤0时，g′（x）＞0，因此g（x）在x∈[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，满足条件．
当0＜a≤

1

2

时，g^″（x）=e^x-2a＞0，g′（x）在x∈[0，+∞）单调递增，∴g′（x）≥g′（0）=1-2a≥0，∴g（x）在x∈[0，+∞）单调递增，满足条件；
当a＞

1

2

时，令g^″（x）=0，解得x=ln（2a）＞0，∴令g^″（x）＞0，解得x＞ln（2a），此时函数g′（x）单调递增；令g^″（x）＜0，解得0＜x＜ln（2a），此时函数g′（x）单调递减．
∴当x=ln（2a）时，函数g′（x）取得最小值，g′（ln（2a））=2a-2aln2a-2a=-2aln（2a）＜0，g′（0）=1-2a＜0，∴g（x）在[0，ln（2a））上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，不满足条件，舍去．
综上可得：对于x≥0时，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+1）x成立，则实数a的取值范围是(-∞，

1

2

]；
（III）证明：由（II）可知：当a=

1

2

时，e^x-ax²-2ax-1≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，∴e^x-1≥

1

2

x2+x，∴e^x≥x+1
令n=1，2，…，则e≥1+1，e²≥2+1，…，eⁿ≥n+1
∴

e(1-en)

1-e

=

e-en+1

1-e

≥n+

n(n+1)

2

≥

n(n+3)

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、切线方程、证明不等式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．