Question

在区间[-4，4]内任取两个实数a，b，则使函数f（x）=x²+

a

x+b有零点的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，由一元二次方程根与系数的关系，算出函数f（x）=x²+

a

x+b有零点时满足a≥4b，满足条件的点（a，b）在正方形内部且在直线a-4b=0的下方，因此可得阴影面积除以正方形的面积，即可得到所求的概率．

解答： 解：∵两个数a、b在区间[-4，4]内随地机取，
∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，
若函数f（x）=x²+

a

x+b有零点，则
△=a-4b≥0，解之得a≥4b，满足条件的点（a，b）在直线a-4b=0的下方，且在正方形内部，
其面积为S₁=

1

2

×[（-1）-（-4）+1-（-4）]×[4-（-4）]=32
∵正方形的面积为S=8×8=64
∴函数f（x）=x²+

a

x+b有零点的概率为P=

S1

S

=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题给出a、b满足的关系式，求函数f（x）=x²+

a

x+b有零点的概率，着重考查了面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．