Question

已知抛物线y²=6x的弦AB过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），求弦AB的长．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线方程，与抛物线方程联立化为一元二次方程，利用根与系数的关系结合OA⊥OB，得到x₁x₂+y₁y₂=0从而求得k值，确定直线方程，求弦长．

解答： 解：直线AB的斜率一定存在，设为k（k≠0）
则AB方程为y-2=k（x-4），
y-2=k（x-4）与y²=6x联立消去x
整理得 ky²-6y+12-24k=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁y₂=

12-24k

k

，
∵OA⊥OB
∴

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴y₁y₂+（y₁²y₂²）÷36=0
∵y₁y₂≠0
∴y₁y₂=-36
∴

12-24k

k

=-36，解得k=-1，
∴AB所在直线的方程为  y-2=-（x-4），即x+y-6=0，
所以弦AB的长

1+ 1 k2

|y1-y2|=

2

180

=6

10

．

点评：本题考查了直线与抛物线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过P的直线方程，利用韦达定理予以解决．