Question

己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞

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xf′（x），若a∈（2，3），则（　　）

• A、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• B、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• C、f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2）
• D、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的综合应用

分析：根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞

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xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．

解答： 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）关于x=2对称，
由f′（x）＞

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xf′（x），
得（x-2）f′（x）＜0，
则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．
若a∈（2，3），
则4＜2^a＜8，1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，
∴2＜4-log₂a＜2^a，
即f（2）＞f（4-log₂a）＞f（2^a），
即f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2），
故选：C

点评：本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．