Question

已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，若log₃[

1

2

a_n•（S_4m+1）]=9，则

1

n

+

4

m

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：根据等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，可得a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，由log₃[

1

2

a_n•（S_4m+1）]=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，
∴a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，
∵log₃[

1

2

a_n•（S_4m+1）]=9，
∴（n-1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴

1

n

+

4

m

=

1

10

（n+4m）（

1

n

+

4

m

）=

1

10

（17+

4n

m

+

4m

n

）≥

1

10

（17+8）=2.5
当且仅当m=n=2时取等号，
∴

1

n

+

4

m

的最小值是2.5．
故答案为：2.5．

点评：本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键．