Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
（1）求（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）的值；
（2）当实数x为何值时，x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$垂直．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．
（2）令（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=0，列方程解出x．

解答 解：（1）由题意知：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos120°=-3，$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=4，$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{b}$|²=9，
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{b}$²=8-15-27=-34． …（5分）
（2）∵（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=x$\overrightarrow{a}$²+（3x-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{b}$²=4x-3（3x-1）-27=-5x-24，
又∵x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$垂直，
∴-5x-24=0，
∴解得：x=-$\frac{24}{5}$．…（10分）

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，考查运算能力，属于基础题．