Question

17．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）作圆（x-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$）²+y²=1的切线，切点在双曲线上，则双曲线的离心率等于（　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 根据直线和圆相切的性质，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．

解答 解：由圆的方程（x-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$）²+y²=1知圆心坐标为G（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0），半径R=1，
∵过左焦点F（-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）作圆（x-$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$）²+y²=1的切线，切点在双曲线上，
∴设切点为P，
则PG=1，PF=1+2a，FG=2c=$\sqrt{10}$，
则PF²+PG²=FG²，
即（1+2a）²+1=10，
即（1+2a）²=9，得1+2a=3，a=1，c=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相切的性质，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系是解决本题的关键．