Question

4．已知F是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=$\sqrt{m}$x是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF，若点A在双曲线C上，则m的值为（　　）

• A． 3+2$\sqrt{3}$
• B． 3-2$\sqrt{3}$
• C． 3+$\sqrt{3}$
• D． 3-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据正三角形的性质，结合双曲线的性质求出，m=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，A（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），将A点的坐标代入双曲线方程可得到关于m的方程，进行求解即可．

解答 解：∵F（c，0）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y=$\sqrt{m}x$是双曲线C的一条渐近线，
又双曲线C的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
∴m=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
又点A在双曲线C上，△AOF为正三角形，
∴A（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
∴$\frac{{（\frac{1}{2}c）}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{（\frac{\sqrt{3}}{2}c）}^{2}}{{b}^{2}}$=1，又c²=a²+b²，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{4a}^{2}}$-$\frac{{3（a}^{2}{+b}^{2}）}{{4b}^{2}}$=1，
即$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$m-$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4m}$=1，
∴m²-6m-3=0，又m＞0，
∴m=3+2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查其渐近线方程，根据正三角形的性质结合渐近线的性质，求出m以及A的坐标是解决本题的关键．，考查学生的运算能力．