Question

20．用综合法或分析法证明：
（1）如果a，b＞0，则lg $\frac{a+b}{2}$≥$\frac{lga+lgb}{2}$；
（2）$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，结合y=lgx在（0，+∞）上增函数即可证明；
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．

解答 证明：（1）当a，b＞0时，有$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
∴lg$\frac{a+b}{2}$≥lg$\sqrt{ab}$，
∴lg $\frac{a+b}{2}$≥$\frac{1}{2}$lgab=$\frac{lga+lgb}{2}$．…（5分）
（2）要证$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{3}$+2，
只要证（$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$）²＞（2$\sqrt{3}$+2）²，
即2$\sqrt{60}$＞2$\sqrt{48}$，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．…（10分）

点评 本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题．