Question

10．已知点A是抛物线x²=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．

解答 解：抛物线的标准方程为x²=4y，
则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=-1，
过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，
设PA的倾斜角为α，则sinα=$\frac{1}{m}$，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x²=4y，
可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴|PA|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．