Question

18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow{m}$=（cos（A-B），sin（A-B）），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-sinB），且 $\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求角B的大小及向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算可得cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$，得cosA的值，结合范围0＜A＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（Ⅱ）由正弦定理sinB，进而可得B，由余弦定理解得c的值，利用平面向量数量积的运算即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由  $\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{3}{5}$，得cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$，得cosA=-$\frac{3}{5}$；
又0＜A＜π，
所以sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$． …（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得B=$\frac{π}{4}$；
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即（4$\sqrt{2}$）²=5²+c²-2×5×c×（-$\frac{3}{5}$），
解得c=1或c=-7（舍去）； 
所以向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影值为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=-ccosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$． …（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．