Question

18．若函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在区间[1，e]上最小值为$\frac{3}{2}$，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{e}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． 非上述答案

Answer 1

分析 由于f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]，对a分a≤1与1＜a≤e、a＞e三类讨论，分别求得f（x）_min，利用f（x）_min=$\frac{3}{2}$即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，
∴当a≤1时，f′（x）≥0，f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在区间[1，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=a=$\frac{3}{2}$与a≤0矛盾，故a≤1不成立，
∴a＞1．
①若1＜a≤e，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，在区间[1，a）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，在区间（a，e]上，f'（x）≥0，函数f（x）单调递增，
∴当x=a时，f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在区间[1，e]上取得极小值f（a），也是最小值，
∴f（x）_min=f（a）=1na+1=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\sqrt{e}$∈[1，e]，满足题意；
②若a＞e，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$＜0，f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在区间[1，e]上单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\frac{e}{2}$＜e与a＞e矛盾，故a≠$\frac{e}{2}$，
综上所述，实数a的值为$\sqrt{e}$．
故选：B．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数求函数的极值与最值的应用，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于难题．