Question

7．已知函数f（x）=（log₂x）²-2（a-1）•log₂x-2（a∈R）在[2，4]上的最小值记为φ（a）．
（1）求φ（a）的表达式；
（2）请用二分法计算函数g（a）=|2^a-1|-φ（a）零点的近似值（精确度0.15）（参考数据2^0.25≈1.2，2^0.375≈1.3）

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，x∈[2，4]，则t∈[1，2]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得φ（a）的表达式；
（2）结合零点存在定理，用二分法，可得函数g（a）在区间（0.25，0.375）上有一个零点，进而得到答案．

解答 解：（1）令t=log₂x，x∈[2，4]，则t∈[1，2]，
则v（t）=f（x）=（log₂x）²-2（a-1）•log₂x-2=t²-2（a-1）t-2，
由v（t）=t²-2（a-1）t-2的图象是开口朝上，且以直线x=a-1为对称轴的抛物线，
故当a-1＜1，即a＜2时，φ（a）=v（1）=1-2a；
当1≤a-1≤2，即2≤a≤3时，φ（a）=v（a-1）=-a²+2a-3；
当a-1＞2，即a＞3时，φ（a）=v（2）=6-4a；
综上可得：φ（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-2a，a＜2\\-{a}^{2}+2a-3，2≤a≤3\\ 6-4a，a＞3\end{array}\right.$，
（2）函数g（a）=|2^a-1|-φ（a）在R上是连续函数，
由g（0）=-1＜0，g（1）=2＞0得，函数g（a）在区间（0，1）上有一个零点；
又由g（0.5）=$\sqrt{2}-1$＞0，得，函数g（a）在区间（0，0.5）上有一个零点；
又由g（0.25）=$\root{4}{2}-1-0.5$≈1.2-1.5＜0，得，函数g（a）在区间（0.25，0.5）上有一个零点；
又由g（0.375）=$\root{8}{{2}^{3}}-1-0.25$≈1.3-1.25＞0，得，函数g（a）在区间（0.25，0.375）上有一个零点；
故函数g（a）=|2^a-1|-φ（a）零点的近似值为0.25

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，二分法求函数的零点，难度中档．